SESIÓN 3. 7 DE
FEBRERO. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
1.
BREVE RESUMEN DE LO APRENDIDO
Como introducción se añade la
tarea que involucra la construcción de las seis funciones trigonométrica en Geogebra,
de donde puede verificarse que, sobre el primer cuadrante de un plano
cartesiano; los valores de las funciones trigonométricas dependen del ángulo
que se utilice como referencia y no de la longitud de los lados de un
triángulo.
Es cierto que los primeros
acercamientos de la trigonometría de nuestros alumnos se hacen con relación a
un triángulo rectángulo, en donde un ángulo define las relaciones existentes
entre los lados de dicho triángulo; sin embargo es un error común de parte de
los estudiantes pensar que las funciones guardan relación con las longitudes de
los lados y no con el valor del ángulo.
Dando un paso acerca de lo
tratado en la sesión y una vez establecidas las particularidades de las
funciones se hicieron algunas preguntas de reflexión tales como:
¿Cuántas razones trigonométricas
existen?
¿Cuáles son las razones
trigonométricas inversas?
Ahora, con una plantilla similar
a la de los triángulos rectángulos dentro de un círculo trigonométrico, se
realizaron las construcciones de las funciones vistas como un segmento, esto se
logró haciendo que las razones entre los lados, tuvieron un denominador igual a
la unidad, así que el valor del numerador equivaldría al valor de la
función. En consecuencia tenemos el
valor de las funciones vistas como un segmento, esto sobre el primer cuadrante.
Además, con las construcciones anteriores
se pudieron establecer las Identidades Pitagóricas, las cuales tienen la
particularidad de tener una unidad dentro de sus miembros, esto se justifica en
el hecho del radio unitario del círculo trigonométrico.
Méndez, identifica el uso del radián (necesidad de la Transición: Grados-Radianes) como una conversión matemática; al parecer en base a dos argumentos: 1) la necesidad de dicha transición no se explica, 2) sólo se sabe que usando radianes, el manejo de las funciones trigonométricas no tiene conflictos, desde el punto de vista lógico.
2. ACCIONES DEL ASESOR PARA EL TRABAJO ENTENDIBLE
Las acciones del asesor en todo
momento fueron claras, el trabajo en Geogebra cada vez es más fluido, esto se
logró con la práctica del software.
3. LO QUE NO ENTENDÍ.
Hasta el momento el trabajo ha sido entendible en todo
sentido, tanto a nivel gráfico como nivel analítico.
4. PREGUNTAS PARA EL ASESOR ACERCA DEL TEMA
¿Cómo incorporar estas actividades dentro de las aulas?
¿Cómo evaluar este tipo de actividades?
¿Cómo decidir hasta qué punto
profundizar en los contenidos de la trigonometría para el nivel secundario y
medio superior?
¿Existe algún texto que podamos
utilizar como referencia?
¿Qué recursos extra tenemos para
realizar actividades incorporando Geogebra?
5. OTRAS INVESTIGACIONES
De la lectura encomendada: La
transición: grados - radianes - reales. Obstáculo didáctico de Díaz M., Salgado
G., Salgado V. Nos habla sobre las transiciones y explica que los grados no son
número reales, ya que normalmente los números reales se hacen presentes cuando
hay unidades de medida y así como el uso de radianes en ecuaciones para
homogeneizarlas, aunque esto se considera parte de la física. Un obstáculo que
se menciona el círculo trigonométrico como obstáculo que entorpece la
construcción de las funciones trigonométricas como función real, dificultando
la necesidad de transición.
Méndez, identifica el uso del radián (necesidad de la Transición: Grados-Radianes) como una conversión matemática; al parecer en base a dos argumentos: 1) la necesidad de dicha transición no se explica, 2) sólo se sabe que usando radianes, el manejo de las funciones trigonométricas no tiene conflictos, desde el punto de vista lógico.
Algunos sitios interesantes para
consulta son:
Según el sitio http://www.ecured.cu/index.php/C%C3%ADrculo_trigonom%C3%A9trico
tenemos que:
Círculo trigonométrico. También conocido como goniométrico, es
aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano
cartesiano y cuyo radio mide la unidad. El círculo trigonométrico tiene la
ventaja de ser una herramienta práctica en el manejo de los conceptos de
trigonometría, pero al mismo tiempo es un apoyo teórico, pues ayuda a
fundamentar y tener una idea precisa y formal de las funciones trigonométricas.
Atreves del círculo trigonométrico se puede obtener de forma manual o analítica
el valor aproximado de las razones trigonométricas para un ángulo
determinado si se dispone de los instrumentos geométricos necesarios.
Características
Se toma como base un círculo de
radio r = 1 con
centro o, en el origen en el plano cartesiano. Se considera un ángulo arbitrario
medido a partir del eje x positivo
y en sentido positivo; o sea, en sentido contrario a las manecillas del reloj;
todo ángulo puede ser colocado (y de una sola manera) de forma tal
que su vértice coincida con el origen de coordenada , uno de sus lados (llamado
lado inicial) coincide con la semirrecta OA y el otro lado (llamado lado terminal) quede ubicado (
a partir del inicial) en la zona de barrida en sentido contrario a la manecilla
del reloj.
Si la
semirrecta r =1 la
hacemos rotar en sentido contrario a la manecilla del reloj, describe un
círculo dividido en 4 cuadrantes (I,
II, III, IV). Antes de que la semirrecta OP comience a rotar, coincide
con el rayo OA,
formando un ángulo de 0°.
Cuando la semirrecta OP rota,
describe un ángulo α,
el cual alcanza su máximo (describiendo un círculo completo) a 360° (2π medido en radianes). De
esta forma el lado terminal de cada ángulo interseca
en un único punto a la [circunferencia] y podemos asociar al ángulo en
ese punto de manera unívoca.
Razones
trigonométricas. Si se rota la
semirrecta OP de radio r rota hasta formar un ángulo α, si proyectamos el punto P hasta el eje X,Y, se obtienen dos segmentos; sobre el eje Y se proyecta el segmento OB denominado seno del ángulo α (Seno α), sobre el eje X se proyecta el segmento OA denominado coseno del ángulo α (cos α), formando un triángulo rectángulo OAP, cuyo lado AP se le denomina cateto opuesto al
ángulo α, el lado OA es el cateto adyacente al
ángulo α, mientras
que el lado OP= r se
denomina hipotenusa. Del triángulo rectángulo anterior podemos denotar
las razones trigonométricas siguientes:
- sen α = PA/r
- cos α = OA/r
- tang α = PA/OA
- cot α= OA/PA
Seno del ángulo
α
A partir del ángulo α y la semirrecta r se
obtiene el punto P,
al trazar una perpendicular desde
dicho punto y hacia el eje Y se
obtiene un segmento OB = AP que
se denomina seno del ángulo α (se denota como sen α), también se determina a través
de la razón (PA/r).
Coseno del
ángulo α
A partir del ángulo α y la semirrecta r se
obtiene el punto P,
al trazar una perpendicular desde dicho punto y hasta el eje X se obtiene un segmento OA = BP que se denomina coseno del ángulo α (se denota como cos α), también se determina a través
de la razón OA/r.
Tangente del
ángulo α
Si trazamos una
semirrecta EC tangente a la circunferencia por el punto E, que toque la semirrecta OD (prolongación de la
semirrecta r), se forma el segmento EC que se denomina tangente del ángulo α (se denota como tang α); también se determina a través
de la razón PA/OA.
Cotangente del
ángulo α
Si trazamos una
semirrecta FD,
tangente al punto F y que toque la semirrecta OD, se forma un segmento FD denominado Cotangente del ángulo α (se denota como cot α); también se determina a través
de la razón OA/PA.
Cuadrantes del
círculo trigonométrico
Si dividimos el
círculo trigonométrico en 4 partes iguales se obtiene como resultado que cada
[ángulo] consecutivo mide 90° (π/2
rd), cada una de las partes obtenidas se conoce como cuadrantes del
círculo trigonométrico. En cada cuadrante los parámetros seno, coseno, tangente y cotangente cambian
su valor numérico con el aumento o disminución del ángulo α, este hecho lo corrobora las razones trigonométricas anteriores.
Primer
cuadrante
Parámetro Signo Seno + Coseno + Tangente +
Cotangente +
En el primer
cuadrante (I), con el aumento
del [ángulo] α, disminuye el cos α y la cot
α, mientras que aumenta la tang α y el sen α,
hasta alcanzar su máximo o mínimo valor a 90° (π/2).
Segundo cuadrante
Parámetro Signo Seno + Coseno - Tangente -
Cotangente -
En el segundo
cuadrante (II), con el aumento
del ángulo α, disminuyen el sen α y el cos
α, por lo que lo hacen también tang α y cot α,
alcanzando su mínimo valor a 180° (π).
Tercer cuadrante
Parámetro Signo Seno - Coseno - Tangente +
Cotangente +
En el tercer
cuadrante (III), con el aumento
del ángulo α,
disminuyen el sen α y el cos α, la tang α aumenta
su valor, mientras que la cot α disminuye dado que (a partir
de que seno y el coseno son negativos y la relación existente entre ellos)
hasta alcanzar su mínimo o máximo valor a 270° (3π/2).
Cuarto cuadrante
Parámetro Signo Seno - Coseno + Tangente -
Cotangente -
En el cuarto
cuadrante (IV), con el aumento
del ángulo α,
disminuye el sen α, mientras que aumenta el cos α por
lo que aumenta la cot α, mientras que disminuye la tang α y
el, hasta alcanzar su máximo y mínimo valor a 360° (2π).
Identidades Pitagóricas
La palabra identidad significa que existe una igualdad entre letras que se cumple con cuales quiera que sean los valores numéricos que se les asigne a estas. Las identidades son las igualdades de expresan las propiedades de las operaciones o de los símbolos operativos.
Para las funciones trigonométricas existen 8 identidades fundamentales que se pueden ordenar en 3 grupos.
La palabra identidad significa que existe una igualdad entre letras que se cumple con cuales quiera que sean los valores numéricos que se les asigne a estas. Las identidades son las igualdades de expresan las propiedades de las operaciones o de los símbolos operativos.
Para las funciones trigonométricas existen 8 identidades fundamentales que se pueden ordenar en 3 grupos.
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